【特征多项式定义】在数学中，特别是线性代数领域，特征多项式是一个非常重要的概念。它用于研究矩阵的性质，尤其是与矩阵的特征值和特征向量密切相关。通过计算特征多项式，可以确定矩阵的特征值，进而分析矩阵的结构和行为。
一、特征多项式的定义
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，那么它的特征多项式定义为：
$$
p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
其中：
- $ \lambda $ 是一个标量（变量），
- $ I $ 是单位矩阵，
- $ \det $ 表示行列式。
该多项式是一个关于 $ \lambda $ 的 $ n $ 次多项式，其根即为矩阵 $ A $ 的特征值。
二、特征多项式的性质
| 特性 | 描述 |
| 次数 | 与矩阵的阶数相同，即 $ n $ 次多项式 |
| 根 | 多项式的根即为矩阵的特征值 |
| 系数 | 系数与矩阵的迹（trace）和行列式等有关 |
| 不变性 | 相似矩阵具有相同的特征多项式 |
三、特征多项式的计算方法
1. 构造矩阵 $ A - \lambda I $
将原矩阵 $ A $ 的对角线元素减去 $ \lambda $，得到新的矩阵。
2. 计算行列式
对新矩阵求行列式，结果即为特征多项式。
3. 化简表达式
展开行列式，合并同类项，最终得到一个标准的多项式形式。
四、举例说明
假设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，则：
$$
A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix}
$$
行列式为：
$$
\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(3 - \lambda) - 0 = (2 - \lambda)(3 - \lambda)
$$
展开后得：
$$
p_A(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6
$$
其根为 $ \lambda = 2 $ 和 $ \lambda = 3 $，即为矩阵的特征值。
五、总结
特征多项式是研究矩阵特征值的重要工具，它不仅揭示了矩阵的基本属性，还广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。理解其定义和计算方式有助于更深入地掌握线性代数的核心内容。